[2015년 저동고]

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[2학년 1학기 중간 미적분1]

[eqn: lim _{x -> 2} {{x ^{2} -4} over {2x ^{2} -3x-2}}]의 값은? [3.0점]

③

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 4over5]

④ [eqn: 4over3]	⑤ [eqn: 4]

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 [eqn: x=a]에서 연속일 때, 다음 보기의 함수 중 [eqn: x=a]에서 연속인 것을 있는 대로 모두 고른 것은? (단, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 치역은 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 정의역에 포함된다.) [3.2점]

①

ㄱ. [eqn: 3f LEFT ( x RIGHT ) -2g LEFT ( x RIGHT )]

ㄴ. [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]

ㄷ. [eqn: {g LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: lim _{n -> INF } {{3 ^{2n-1}} over {a cdot9 ^{n} -4 ^{n+1}} =-27}]을 만족시키는 실수 [eqn: a]의 값은? [3.3점]

②

① [eqn: -9]	② [eqn: - {1} over {81}]	③ [eqn: {1} over {9}]

④ [eqn: 1over3]	⑤ [eqn: 6]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 극한에 대한 다음 보기의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 모두 고른 것은? [3.4점]

③

ㄱ. [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n} ^{2}} = alpha]이면 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}} = sqrt {alpha }](단, [eqn: alpha >0])

ㄴ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 각각 수렴하면

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} b _{n} = sum _{n=1} ^{INF } a _{n} sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]

ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} +b _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { a _{n} -b _{n} RIGHT }]이 모두 수렴하면

수열 [eqn: LEFT { a _{n} ^{2} RIGHT }]도 모두 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

연속함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f(1)=1], [eqn: f(2)=2], [eqn: f(3)=15], [eqn: f(4)=20]을 만족시킨다. 방정식 [eqn: 2f LEFT ( x RIGHT ) -x ^{3} =0]이 적어도 [eqn: m]개의 실근을 가질 때, [eqn: m]의 값은? [3.5점]

④

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: lim _{n-> INF } {LEFT ( sqrt {an ^{2} +bn} -2n RIGHT ) =2}]를 만족시키는 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은? [3.7점]

⑤

① [eqn: -16]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 32]

실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: a+ {a ^{2}} over {3} + {a ^{3}} over {3 ^{2}} + {a ^{4}} over {3 ^{3}} + CDOTS =2]일 때,
급수 [eqn: a- {a ^{2}} over {2} + {a ^{3}} over {2 ^{2}} - {a ^{4}} over {2 ^{3}} + CDOTS]의 값은? [3.8점]

②

① [eqn: 6over13]	② [eqn: 3over4]	③ [eqn: - {3} over {8}]

④ [eqn: - {5} over {6}]	⑤ [eqn: -6]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 아래의 그림과 같을 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.0점]

①

답이 맞긴 하지만 거지같은 문제.

[eqn: f(x)]가 불연속이 되는 [eqn: x]값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이므로

닫힌 구간 [eqn: [0,```3]]에는 [eqn: 3]개가 존재한다. (학교의도)

[eqn: x=3]일 때가 문제가 되는데,

구간 [eqn: (2,```3]]에서 [eqn: f(x)]는 연속이다. (참)

라는 명제 때문에..

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 2+} {f LEFT ( x RIGHT )} =f LEFT ( 2 RIGHT )]

ㄴ. [eqn: 0< a < 3]인 임의의 실수 [eqn: a]에 대하여

[eqn: lim _{x-> a} {f LEFT ( x RIGHT )}]가 존재한다.

ㄷ. 닫힌 구간 [eqn: [0,```3]]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의

불연속점의 개수는 [eqn: 2]개이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{x ^{3} +x ^{2} +ax-2```&LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )#-x ^{2} +4x+b```&LEFT ( x<0 RIGHT )}}]가 [eqn: x=0]에서 미분가능할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은? [4.1점]

①

① [eqn: -8]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 10]

그림과 같이 [eqn: rmbarAB =15], [eqn: rmbarBC =30]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에 내접하는 정사각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} BC _{1}]을 그리고, 직각삼각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C]에 내접하는 정사각형 [eqn: rmA _{2} B _{2} B _{1} C _{2}]를 그린다. 이와 같이 직각삼각형에 내접하는 정사각형을 한없이 그려갈 때, 각 정사각형의 둘레의 길이의 합은? [4.1점]

③

① [eqn: 30]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 120]

④ [eqn: 60 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 120 sqrt {10}]

다항식 [eqn: LEFT ( x ^{3} +2x ^{2} -2 RIGHT ) LEFT ( 2x ^{2} -3x+2 RIGHT )]를 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2}]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R LEFT ( x RIGHT )]이라 하자. 이때 [eqn: R LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [4.3점]

①

① [eqn: -7]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 13]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT { a _{n} - {1+2+3+ CDOTS +n} over {n ^{2} +1} RIGHT } =3]일 때,
[eqn: lim _{n-> INF } {{-a _{n} +1} over {a _{n} -4}}]의 값은? [4.4점]

④

① [eqn: -4]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - {2} over {3}]

④ [eqn: - {1} over {7}]	⑤ [eqn: 2over3]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: lim _{x-> 0} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x}} =1], [eqn: lim _{x-> 1} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1} =3}],
[eqn: lim _{x-> INF } {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{4} +3x-4}} =2]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{x-> -1} {f LEFT ( x RIGHT )}]의 값은? [4.6점]

③

① [eqn: -6]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -2]
④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} + {x ^{2}} over {1+x ^{2}} + {x ^{2}} over {LEFT ( 1+x ^{2} RIGHT ) ^{2}} + CDOTS]에 대하여 닫힌 구간
[eqn: [1,```4]]에서의 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값을 [eqn: a], 최솟값을 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값은? [4.7점]

⑤

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a _{k} = lim _{n -> INF } {{1+ LEFT ( {4} over {k} RIGHT ) ^{n+1}} over {1+ LEFT ( {4} over {k} RIGHT ) ^{n}}}]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{5} ka _{k}]의 값은? [5.0점]

③

① [eqn: 28over3]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 32]

[eqn: lim _{x -> n} {{LEFT [ x-1 RIGHT ] ^{2} +4x} over {LEFT [ x+1 RIGHT ]}} = alpha]라 할 때, 정수 [eqn: n]과 상수 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: n+ alpha]의 값은? (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수) [5.4점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: lim _{x-> 0} {{sqrt {2x ^{2} -x+1} +ax+b} over {x ^{n}} = {7} over {8}}]을 만족시키는 모든 [eqn: a]의 값의 합은? [5.5점]

④

① [eqn: 3over8]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 11over8]
④ [eqn: 15over8]	⑤ [eqn: 19over8]

서술형

미분 가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: y= LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}]의 도함수를 도함수의 정의를 이용하여 구하는 과정을 자세히 서술하고, 도함수를 구하시오. [10.0점]

[eqn: {d} over {dx} LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} = lim _{h -> 0} {} {LEFT { f(x+h) RIGHT } ^{2} - LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {h}# ```````````````````````````````````````````= lim _{h -> 0} {} {(f(x+h)-f(x))} over {h} (f(x+h)-f(x))# ```````````````````````````````````````````= f`'(x)cdot2f(x)# ```````````````````````````````````````````= 2f(x)f`'(x)]

자연수 [eqn: n]에 대하여 두 직선 [eqn: x+2y=3 ^{n}], [eqn: 2x-y=9 ^{n}]이 만나는 점의 좌표를 [eqn: LEFT ( a _{n} ,```b _{n} RIGHT )]이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. [10.0점]

(1) [eqn: x_n = { 1} over {5 }3^n + { 2} over { 5}9^n], [eqn: y_n = { 2} over {5 }3^n - { 1} over {5 }9^n]

(2) [eqn: -2]

(1) 만나는 점의 좌표 [eqn: LEFT ( a _{n} ,```b _{n} RIGHT )]을 구하는 과정을

자세히 서술하고 그 좌표를 구하시오. [5.0점]

(2) [eqn: lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {b _{n}}}]의 값을 구하는 과정을 자세히 서술하고,

극한값을 구하시오. [5.0점]

[2015년 저동고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

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